Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah proses penyusunan unsur-unsur atau anggota suatu kelompok, menjadi satu atau lebih susunan baru, dimana penyusunan dilakukan dengan memperhatikan urutan dari unsur-unsur atau anggota kelompok tersebut.

Misalnya, urutkanlah bilangan 1, 2, 3 menjadi sebuah bilangan 3 angka, dan berapa banyak angka yang bisa disusun ?

jawab:

bilangan yang bisa disusun dari angka 1, 2, dan 3 adalah 123, 132, 231, 213, 312, dan 321. Banyak bilangan yang bisa disusun adalah 6 bilangan.

Dari bilangan itu terlihat bahwa bilangan 123 (baca: seratus dua puluh tiga) tidak sama dengan bilangan 132 (seratus tiga puluh dua), tidak sama juga dengan bilangan 231 (dua ratus tiga puluh satu), dan seterusnya. Jadi inilah yang dimaksud dengan memperhatikan urutannya.

Contoh 2:

Susunlah sebuah barisan dari 3 orang anak, yaitu Putri, Dian, dan Andre. Berapa barisankah dapat disusun dari ketiga anak itu?

Jawab:

Coba sekarang kita bentuk barisan yang pertama, dengan urutan sebagai berikut:

(1) Putri - Dian - Andre = pada barisan ini Andre paling belakang, ternyata dia boleh dipindah ke tengah, bertukar tempat dengan Dian, yaitu menjadi :

(2) Putri - Andre - Dian

Dua cara berbaris itu dapat disusun dengan menempatkan Putri paling depan pada barisan. Ternyata, Dian dan Andre pun berhak berbaris paling depan juga. Yuk! kita susun lagi, menjadi :

(3) Andre - Dian - Putri

(4) Andre - Putri - Dian

(5) Dian - Andre - Putri

(6) Dian - Putri - Andre

Selesai sudah, banyak barisan yang dapat kita susun, dan ternyata ada 6 buah barisan, atau 6 buah cara berbaris yang bisa disusun dari 3 orang anak tersebut.

Sesuai dengan aturan kaidah pencacahan yang dibahas pada materi sebelumnya, maka hasil 6 diperoleh dari :

Adapun 6 ini diperoleh dari penyusunan 3 unsur akan diambil 3 unsur juga untuk dipermutasikan, sehingga diperoleh rumus untuk penyusunan atau permutasi dari 3 unsur diambil 3 untuk disusun :

Sehingga, diperoleh rumus umum untuk permutasi, yaitu :

Dimana: n = banyaknya unsur-unsur yang bisa diambil untuk disusun menjadi suatu susunan baru r = banyak unsur-unsur atau anggota yang diperlukan dari susunan kelompok yang baru

Contoh 3:

Berapa banyak formasi yang dapat disusun dari 4 orang untuk menduduki jabatan ketua dan wakil ketua kelas ?

Jawab: banyak anggota yang tersedia yaitu 4 orang, sehingga n = 4 akan diambil tiap-tiap 2 orang untuk disusun dalam 2 jabatan itu, maka r = 2 sehingga :

Jadi banyak formasi 2 orang 2 orang atau (permutasi 4 unsur diambil 2), yang bisa disusun dari 4 orang itu adalah 12 formasi atau 12 cara penyusunan.

Selain dengan notasi diatas, masih ada cara lain penulisan notasi permutasi yakni, sebagai berikut :