Logaritma Kelas 10

Nah, pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan sifat logaritma yang pertama, dari lebih kurang sembilan sifat yang ada. Sebelumnya mari kita lihat dulu bentuk umum untuk logaritma, yaitu:

dimana : a = bilangan pokok atau basis dari logaritma, y = numerus. Sekarang, mari kita mulai dengan sifat yang pertama ( I )

ingat : a > 0, b > 0, c > 0, dan a tidak sama dengan 1 Contoh penggunaannya di dalam soal :

Nah gampang bukan... Untuk membuktikan sifat itu benar, maka harus dicari hasil logaritma masing-masing ruas, yaitu ruas kiri dan ruas kanan. Dimana ruas pada kiri dicari hasil logaritma 16 dan pada ruas kanan dicari hasil logartima 4, sebagai berikut:

Jadi, sekarang kita telah menguasai sifat trigonometri yang pertama. Untuk sifat selanjutnya akan saya bahas pada posting berikutnya. Selamat belajar... !!

Mencari KPK dan FPB

Sebelum mulai dengan pembahasan untuk mencari KPK dan FPB dari 2 atau 3 bilangan, akan diterangkan dulu mengenai pengertian dari kelipatan, kelipatan persekutuan, dan KPK itu sendiri. Kelipatan adalah suatu barisan bilangan yang diperoleh dengan cara menjumlahkan bilangan pokok dengan bilangan itu sendiri, dan seterusnya hasil dari penjumlahan itu dijumlahkan lagi dengan bilangan pokoknya lagi, demikian seterusnya. Contoh: Kelipatan 3, yaitu 3 = 3, (3+3), ((3+3)+3), dst... = 3, 6, 9, 12, 15,... (dst) Kelipatan 2, yaitu 2 = 2, (2+2), ((2+2)+2), ... = 2, 4, 6, 8, 10, 12,... Kelipatan persekutuan adalah kelipatan dari 2 atau lebih bilangan yang memiliki kesamaan atau sekutu. Contoh: pada bilangan 2 dan 3 diatas, kelipatan yang sama atau bersekutu adalah 6, 12, dan jika kelipatan itu dilanjutkan maka akan ada lagi kelipatan yang sama. Jadi, 2 atau lebih bilangan dapat memiliki lebih dari satu kelipatan persekutuan. Sementara kelipatan persekutuan terkecil atau KPK adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 2 atau lebih bilangan. Jadi dari sekian banyak kelipatan persekutuan dari 2 atau lebih bilangan, yang dicari atau yang ditunjuk adalah yang paling kecil atau terkecil. Contoh: pada bilangan 2 dan 3 diatas, kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 6. Nah, untuk mencari KPK dari 2 atau lebih bilangan, ada 3 cara yang bisa kita gunakan. Adapun cara yang pertama (I) adalah cara yang telah kita bahas diatas tadi, dan merupakan cara paling sederhana, namun untuk bilangan-bilangan dengan angka yang lebih besar, akan memiliki tingkat kesulitan terutama dalam menghitung setiap kelipatan dimana akan memerlukan banyak waktu. Kali ini, kakak akan berikan penjelasan mengenai cara yang kedua (II) yaitu pembagian faktor prima. Pembagian dengan faktor prima yaitu, bilangan-bilangan yang akan dicari KPK-nya, dibagi dengan suatu bilangan prima, dan dimulai dari mencoba dengan bilangan prima yang paling kecil dahulu, sampai semua bilangan yang dicari KPK-nya itu habis atau hanya menyisakan bilangan 1. Bila ada bilangan yang tidak bisa dibagi dengan suatu faktor prima yang dipilih itu, cukup diturunkan saja, dan nanti kita pilihkan dia suatu faktor prima yang membuat bilangan itu juga habis menjadi 1. Contoh soal: Berapakah KPK dari 6, 8, dan 12 ? Jawab: Adapun langkah-langkah pembagian faktor prima, sebagai berikut: (1) Pertama-tama, buatlah barisan ketiga bilangan itu pada satu garis, (2) kedua, bagilah bilangan itu dengan faktor prima terkecil dalam hal ini 2, karena dari ketiga bilangan itu ada yang bisa dibagi dengan 2. (3) hasil pembagiannya, langsung tulis dibawah bilangan itu sendiri tepat dibawah garis yang dibuat. (4) hasil pembagian itu, lalu dibagi lagi dengan faktor prima. (5) bila ada bilangan yang tidak bisa dibagi diturunkan saja, asal ada minimal satu bilangan yang bisa dibagi. (6) bagilah terus dengan suatu faktor prima sampai ketiga bilangan bersisa 1. (7) nah, untuk mencari KPK, maka kalikan semua faktor prima yang dipakai untuk membagi bilangan itu. Untuk lebih jelas, silahkan lihat pada gambar berikut: Penjelasan gambar: Dari gambar itu, terlihat angka yang berwarna biru adalah faktor prima pembagi ketiga bilangan yang dicari KPK-nya. (1) Hasil pembagian pada baris satu, semua bilangan dari 6, 8, dan 12 bisa dibagi 2. (2) Pada hasil baris yang kedua, bilangan 3 tidak bisa dibagi 2, sehingga cukup diturunkan saja. (3) Pada hasil baris ketiga, bilangan 3 tidak bisa dibagi 2, cukup diturunkan saja, dan yang dibagi hanya bilangan 2 sehingga menjadi 1. (4) Pada hasil pembagian baris keempat, dengan pembagi 3, maka 3 dibagi 3 sehingga menjadi 1, sementara 1 tidak usah dibagi 3, cukup diturunkan 1 saja. Sehingga, semua bilangan telah bersisa 1. KPK-nya adalah dengan mengalikan semua faktor pembagi yang menyebabkan ketiga bilangan itu menjadi bersisa satu, yaitu pada gambar kakak beri lingkaran warna merah, yaitu 2 x 2 x 2 x 3 = 24. Nah, sangat gampang bukan. Sekarang coba kalian berlatih dengan mencari KPK dari 4, 12, dan 24, tentunya dengan cara seperti diatas. Selamat mencoba ...

Bilangan Bulat

Adapun pokok-pokok materi yang harus adik-adik kuasai dalam pengerjaan hitung bilangan bulat, yaitu: (1) sifat-sifat hitung pada bilangan bulat,

• sifat komutatif (pertukaran)
• sifat asosiatif (pengelompokan)
• sifat distributif (penyebaran)

(2) pengerjaan hitung campuran, yaitu dengan konsep urutan sebagai berikut:

• bilangan dalam tanda kurung, dikerjakan paling pertama,
• perkalian dan atau pembagian, dikerjakan nomor dua,
• penjumlahan dan atau pengurangan, dikerjakan paling terakhir.

(3) mencari faktor persekutuan terbesar atau FPB, dimana terdapat tiga cara, yaitu :

• dengan mencari faktor masing-masing bilangan,
• dengan memfaktorkan ketiga bilangan bersamaan dengan faktor prima,
• dengan memfaktorkan masing-masing bilangan dengan pohon faktor.

(4) mencari kelipatan persekutuan terkecil atau KPK, dimana terdapat tiga cara juga, yaitu :

• dengan mencari kelipatan masing-masing bilangan,
• dengan memfaktorkan ketiga bilangan secara bersamaan dengan faktor prima,
• dengan memfaktorkan masing-masing bilangan dengan pohon faktor.

Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah proses penyusunan unsur-unsur atau anggota suatu kelompok, menjadi satu atau lebih susunan baru, dimana penyusunan dilakukan dengan memperhatikan urutan dari unsur-unsur atau anggota kelompok tersebut.

Misalnya, urutkanlah bilangan 1, 2, 3 menjadi sebuah bilangan 3 angka, dan berapa banyak angka yang bisa disusun ?

jawab:

bilangan yang bisa disusun dari angka 1, 2, dan 3 adalah 123, 132, 231, 213, 312, dan 321. Banyak bilangan yang bisa disusun adalah 6 bilangan.

Dari bilangan itu terlihat bahwa bilangan 123 (baca: seratus dua puluh tiga) tidak sama dengan bilangan 132 (seratus tiga puluh dua), tidak sama juga dengan bilangan 231 (dua ratus tiga puluh satu), dan seterusnya. Jadi inilah yang dimaksud dengan memperhatikan urutannya.

Contoh 2:

Susunlah sebuah barisan dari 3 orang anak, yaitu Putri, Dian, dan Andre. Berapa barisankah dapat disusun dari ketiga anak itu?

Jawab:

Coba sekarang kita bentuk barisan yang pertama, dengan urutan sebagai berikut:

(1) Putri - Dian - Andre = pada barisan ini Andre paling belakang, ternyata dia boleh dipindah ke tengah, bertukar tempat dengan Dian, yaitu menjadi :

(2) Putri - Andre - Dian

Dua cara berbaris itu dapat disusun dengan menempatkan Putri paling depan pada barisan. Ternyata, Dian dan Andre pun berhak berbaris paling depan juga. Yuk! kita susun lagi, menjadi :

(3) Andre - Dian - Putri

(4) Andre - Putri - Dian

(5) Dian - Andre - Putri

(6) Dian - Putri - Andre

Selesai sudah, banyak barisan yang dapat kita susun, dan ternyata ada 6 buah barisan, atau 6 buah cara berbaris yang bisa disusun dari 3 orang anak tersebut.

Sesuai dengan aturan kaidah pencacahan yang dibahas pada materi sebelumnya, maka hasil 6 diperoleh dari :

Adapun 6 ini diperoleh dari penyusunan 3 unsur akan diambil 3 unsur juga untuk dipermutasikan, sehingga diperoleh rumus untuk penyusunan atau permutasi dari 3 unsur diambil 3 untuk disusun :

Sehingga, diperoleh rumus umum untuk permutasi, yaitu :

Dimana: n = banyaknya unsur-unsur yang bisa diambil untuk disusun menjadi suatu susunan baru r = banyak unsur-unsur atau anggota yang diperlukan dari susunan kelompok yang baru

Contoh 3:

Berapa banyak formasi yang dapat disusun dari 4 orang untuk menduduki jabatan ketua dan wakil ketua kelas ?

Jawab: banyak anggota yang tersedia yaitu 4 orang, sehingga n = 4 akan diambil tiap-tiap 2 orang untuk disusun dalam 2 jabatan itu, maka r = 2 sehingga :

Jadi banyak formasi 2 orang 2 orang atau (permutasi 4 unsur diambil 2), yang bisa disusun dari 4 orang itu adalah 12 formasi atau 12 cara penyusunan.

Selain dengan notasi diatas, masih ada cara lain penulisan notasi permutasi yakni, sebagai berikut :

Sifat Logaritma

Dari, sekian banyak sifat logaritma, kali ini akan dibahas sifat logaritma yang sering keluar dalam soal, baik pada ujian sekolah maupun ujian nasional dan ujian masuk perguruan tinggi. Langsung saja kita lihat kembali bentuk umum logaritma, yaitu: Jika sudah ingat kembali bentuk umumnya, sekarang kita lanjutkan dengan sifat logaritma yang ke-8, yaitu dengan bentuk sebagai berikut : Penjelasan singkat : bentuk seperti a log b, dapat diubah menjadi b log a, dengan jalan menjadi 1 per. Fungsinya adalah ketika dalam suatu soal yang diketahui adalah hasil dari b log a, maka bentuk a log b diubah menjadi seper b log a, sesuai sifat logaritma ini. Contoh penggunaannya dalam soal : Contoh 1: Jika diketahui nilai dari ^blog a = 3, hitunglah nilai dari ^alog b : Jawab : Sesuai dengan sifat yang tadi, maka : Gampang khan! Mari lanjutkan dengan contoh berikut. Contoh 2: Diketahui, nilai dari ⁵log 7 = a, ⁵log 8 = c. Hitunglah nilai dari ⁷log 5 x ⁸log 5 ! Jawab : Karena yang dicari adalah ⁷log 5 dan ⁸log 5, maka ubah bentuk ⁵log 7 = a dan ⁵log 8 menjadi bentuk yang dicari yaitu : Sehingga, jika diselesaikan menjadi :

Sampai disini, kalian sudah mampu mengerjakan soal yang diberikan. Untuk selnjutnya pembahasan soal campuran dari sifat-sifat logaritma akan di bahas pada posting berikutnya. Selamat berlatih !

Contoh Soal - Permutasi - Kelas 11 IPA

Permutasi adalah penyusunan dari n unsur yang tersedia menjadi beberapa kemungkinan yang dapat dibentuk atau disusun dengan pengambilan sebanyak r unsur.

Misalnya menyusun pasangan baju dan celana, menyusun pengurus kelas dari sekian banyak siswa, menyusun kata dengan 5 huruf dari 26 huruf yang tersedia, dan sebagainya. Adapun rumus umumnya adalah : Contoh 1:

Dari tiga angka yang tersedia (n=3) susunlah menjadi bilangan dua angka (r=2) dimana tidak boleh ada bilangan yang berulang atau ganda pada tiap satu bilangan. Angka-angka yang diberikan adalah 2, 4, dan 5. Jawab: Diketahui : n = 3 r = 2 maka, masukkan pada rumus, seperti berikut ini : dan hasilnya adalah 6 cara penyusunan. Mari kita buktikan dengan metode pencacahan bilangan apa saja yang bisa di bentuk dari angka 2, 4 dan 5. Ternyata bilangan yang bisa disusun dari tiga angka itu adalah 6 seperti yang dicari dengan menggunakan rumus. Lain halnya kalo bilangan itu boleh memakai angka yang berulang, maka bilangan yang boleh dibentuk akan mencakup bilangan 22, 44, dan 55. Nah sampai disini tentunya sudah paham bukan, mari kita lanjutkan dengan contoh berikut: contoh 2 : Dari angka-angka berikut yakni 2, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9, tentukan banyak bilangan tiga angka yang kurang dari 500 yang dapat disusun, dimana angka-angka tidak boleh berulang ! Jawab: Nah, soal seperti ini lebih variatif, dimana ada sebuah ketentuan yaitu < 500. Jadi adik-adik harus berpikir sedikit, yaitu bilangan yang kurang dari 500 pasti tidak lebih dari 499. Jadi untuk angka paling depan dari bilangan yang bisa dipilih hanya angka 2 dan angka 4. Karena jika kita ambil angka 5, 6, 7, 8, dan 9, nantinya bisa terbentuk bilangan yang lebih dari 500 seperti bilangan 567, 587, dan atau 576. Khan tidak < 500 namanya. Nah, 2 bilangan pertama yang bisa dipilih itu yaitu angka 2 dan angka 4 kita sebut faktor pengali yang pertama yaitu 2. Dan 2 ini kita masukkan pada kotak I untuk memudahkan proses pengalian. Untuk lebih jelasnya silahkan lihat pada kotak pencacahan berikut : Keterangan gambar :

1. "3" kotak mewakili bilangan 3 angka yang akan dibentuk.
2. angka 2 pada kotak pertama artinya 2 angka yang boleh dipilih untuk mengisi kotak I, yaitu angka 2 dan angka 4. Kenapa hanya angka 2 dan 4 ??? Karena bilangan yang diminta adalah < 500, jadi hanya bisa kepala 2 dan 4.
3. Jadi, yang bisa dipermutasikan selanjutnya hanya 2 kotak terakhir, yaitu kotak II dan kotak III.

Ini berarti angka yang masih bisa dipilih adalah angka 5, 6, 7, 8, 9, karena angkanya sendiri tidak boleh diulang. Jadi kalo bilangan itu terdiri dari 3 angka maka tinggal 2 angka saja yang dipermutasikan karena 1 angka pertama sudah diisi dengan 2 pilihan. Maka, permutasi 2 unsur (r = 2) dari 5 unsur (n = 5) yang tersedia adalah : nah, hasil dari permutasi 2 kotak yang tersedia adalah 20 cara. Sementara dari kotak pertama kita bisa menyusun dengan 2 cara, maka keseluruhan kotak cara menyusunnya adalah dengan 2 x 20 = 40 cara penyusunan. Artinya bilangan 3 angka yang bisa dibentuk adalah sebanyak 40 bilangan. Silahkan adik-adik membuktikan dengan metode pencacahan atau secara manual, bilangan apa saja yang < 500 yang bisa dibentuk. Selamat mencoba dan tetap berlatih.

Statistika

Statistik adalah kegiatan mengumpulkan, menyusun, mengolah atau menganalisa, serta menyatikan data dalam bentuk angka dan atau gambar, untuk kemudian diambil suatu kesimpulan yang bisa diuji dengan hipotesa. Data-data itu bisa disajikan kedalam beberapa diagram, antara lain :

1. Diagram garis
2. Diagram batang
3. Diagram lingkaran
4. Diagram lambang atau piktogram
5. Diagram batang daun
6. Diagram kotak garis

Beberapa istilah penting dalam statistika, yaitu:

• Datum Setiap data tunggal itu dinamakan datum.
• Data Kumpulan dari beberapa datum dinamakan data.
• Populasi Populasi adalah keseluruhan elemen atau unsur (bisa berupa orang, benda atau kejadian) yang akan dijadikan objek penelitian.
• Sampel Sampel adalah sebagian dari populasi yang diambil untuk diteliti dan mampu mewakili karakteristik dari populasi itu sendiri.
• Frekuensi Frekuensi adalah jumlah dari seringnya datum itu muncul.
• Ukuran Pemusatan Data
1. Mean atau rataan hitung Mean atau rata-rata adalah suatu ukuran pemusatan data, dimana diperoleh dari jumlah seluruh data dibagi banyaknya data.
2. Median Median merupakan suatu ukuran pemusatan data dimana ia adalah nilai yang terletak ditengah-tengah dari sekelompok datum (data) yang diurutkan dari kecil menuju besar. Apabila banyak data ganjil, maka median tepat ditengah-tengah, dan apabila data genap maka median adalah jumlah dua datum yang ditengah dibagi dua.
3. Modus Modus merupakan salah satu ukuran pemusatan data dimana ia adalah nilai yang paling sering muncul atau datum dengan frekuensi tertinggi.

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat itu adalah persamaan yang memiliki variabel yang berpangkat dua. Biasanya yang berpangkat dua itu adalah x. Sehingga bentuk umum persamaan kuadrat adalah : ax² + bx + c = 0. dengan syarat: a tidak sama dengan nol, dan a, b, dan c adalah elemen himpunan bilangan Real. Kenapa disebut persamaan, karena ada tanda sama dengan '=' itu. Jadi kalau tandanya tidak '=' seperti tanda 'kurang dari' < atau 'lebih dari' >, itu akan disebut sebagai pertidaksamaan. Persamaan kuadrat itu memiliki penyelesaian yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat, yang biasanya ada dua yaitu x₁ dan x₂. Disebut penyelesaian karena jika nilai dari salah satu penyelesaian itu dimasukkan pada variabel x pada persamaan akan menghasilkan nilai nol. Sehingga akar-akar persamaan kuadrat juga disebut faktor pembuat nol. Adapun cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu :

1. Memfaktorkan
   • cara I
   • cara II
   • cara III
2. Melengkaptkan Kuadrat Sempurna
3. Menggunakan Rumus ABC

Yang kalau diringkas bisa disebut 3M. Wah seperti memberantas sarang nyamuk saja, hehe. Yuk sekarang coba kita bahas satu persatu.

• Memfaktorkan
  1. Cara I
  Cara yang pertama ini paling tepat digunakan jika nilai a pada variabel x² dari persamaan ax² + bx + c = 0 adalah 1 (satu). Atau secara lebih mudah yaitu x² didepannya tidak mengandung angka lain selain variabel x itu sendiri. Contoh persamaan kuadratnya :
  1. x² - 8x + 15 = 0
  2. x² - x - 12 = 0
  3. x² + 8x + 12 = 0
  4. x² - 8x + 16 = 0
  5. x² - 9 = 0
  Adapun langkah-langkah untuk mencari akar-akar persamaan kuadratnya adalah sebagai berikut, dimana contoh yang kita pakai adalah persamaan kuadrat yang no. 1 yakni x² - 8x + 15 = 0. (langkah 1) : Tulis persamaan kuadrat itu, seperti berikut ini : x² - 8x + 15 = 0 (langkah 2) : Tulis dibawahnya dua buah tanda kurung, dengan masing-masing diisi variabel x seperti berikut : (x )(x ) = 0 (langkah 3) : Pikirkan dua buah angka, yang jika dikalikan hasilnya adalah 15, dan jika dua angka itu dijumlahkan hasilnya -8 (negatif 8). Maka tentunya kita akan memikirkan 1 dan 15, atau 3 dan 5, karena hanya dua pasangan bilangan itu yang jika dikalikan menghasilkan 15. Terus agar hasil kalinya positif 15 dan hasil penjumlahan -8, maka yang paling tepat adalah -3 dan -5. Coba kita jumlahkan -3 dan -5 yaitu -3 + (-5) = -8. Betulkan hasilnya -8. Kalau sampai disini masih bingung, kenapa jika dikali hasilnya harus 15? Lihat kembali persamaan kuadratnya yaitu x² - 8x + 15 = 0. Jadi jika dikali harus menghasilkan c yaitu 15, dan jika dijumlah harus menghasilkan koefisien x, yaitu b. Yang mana b, yang mana c? Kita lihat lagi bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax² + bx + c = 0. Jadi c adalah bilangan konstanta-nya (yang tidak berisi variabel x), dan b adalah koefisien dari variabel x yang berpangkat satu(x tanpa pangkat), dan koefisien dari variabel x yang berpangkat 2 atau x² adalah a, dalam hal ini nilai a = 1. Jadi angka 1 tidak usah ditulis ya didepan x² seperti aturan yang sudah biasa. (langkah 4) : Masukkan kedua angka itu ke dalam masing-masing tanda kurung, lengkap dengan tanda negatif atau positifnya, seperti berikut ini : (x - 3)(x - 5) = 0 (langkah 5) : Samakan masing-masing setiap suku dalam tanda kurung dengan 0 (nol), seperti berikut ini : (x - 3) = 0 x - 3 = 0 x = 3 (tanda negatif pada 3 hilang karena pindah ruas) Sebenarnya ada teori mendasar mengenai kenapa kalau pindah ruas bisa berubah tanda, dan itu akan saya jelaskan pada posting khusus, agar kita bisa lebih konsentrasi pada materi ini. Jadi kita dapatkan nilai x₁ = 3. Selanjutkan kita samakan lagi suku yang lagi satu dengan nol, yaitu : (x - 5) = 0 x - 5 = 0 x = 5 Jadi kita dapatkan x₂ = 5. Jadi adapun akar-akar persamaan kuadrat x² - 8x + 15 = 0 adalah x₁ = 3 dan x₂ = 5, atau bisa juga disebut sebagai himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x² - 8x + 15 = 0 adalah HP = {3, 5}. Nah, gampang sekali bukan untuk memahami cara yang pertama. Selanjutnya untuk lebih memantapkan bisa dicoba contoh persamaan kuadrat di atas yang nomor 2 sampai nomor 5. Klik next untuk melanjutkan pelajaran mengenai memfaktorkan dengan cara II.