Bilangan Asli

Bilangan asli adalah bilangan mulai dari bilangan 1,2,3,4,5,6,7,8,...(dan seterusnya). Bilangan asli bisa dikelompokkan atau digolongkan lagi menjadi 4 kelompok, yaitu :
1. Bilangan genap: 2,4,6,8,10,12,...(dan seterusnya)
2. Bilangan ganjil: 1,3,5,7,9,11,...(dan seterusnya)
3. Bilangan prima: 2,3,5,7,11,13,...(dan seterusnya)
4. Bilangan komposit: 4,6,8,9,10,12,...(dan seterusnya).  

Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi 2. Contoh: 2 kalau 2 dibagi 2 = 1 (habis tidak ada sisa). Jadi 2 adalah bilangan genap. Contoh: 3 kalau 3 dibagi 2 = 1 sisa 1(masih ada sisa 1). Jadi 3 bukan bilangan genap. Contoh: 4 Kalau 4:2=2 (dibaca empat dibagi 2 sama dengan 2) (habis tidak ada sisa). Jadi 4 adalah bilangan genap.

Bilangan Ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2, atau masih ada sisa jika dibagi dengan 2. Contoh: dapat dilihat yaitu 3 pada contoh diatas.  

Bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai dua faktor saja. Contoh: 1) 2, hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 x 2. 2) 3, hanya memiliki dua faktor yaitu 1 x 3. 3) 5, hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 x 5. 4) 7, hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 x 7. 5) 4, mempunyai lebih dari dua faktor yaitu 1 x 4 dan 2 x 4 sehingga 4 bukan bilangan prima. 6) 6, mempunyai lebih dari dua faktor yaitu 1 x 6 dan 2 x 3 sehingga 6 bukan termasuk bilangan prima.  

Bilangan komposit adalah bilangan bulat yang bukan bilangan prima. Dengan kata lain, lawan bilangan prima, atau bilangan yang mempunyai lebih dari dua faktor. Contoh: 4,6,8,10,12,15,16,...(dan seterusnya)

Peluang (Kelas 9)

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan. Ruang sampel dilambangkan dengan huruf S. Titik sampel adalah masing-masing anggota dari ruang sampel. Contoh:

1. Pada pelemparan satu buah uang logam

Ruang sampelnya ada dua yaitu S={angka, gambar}. Titik sampelnya bisa angka, atau bisa gambar saja.

2. Pada pelemparan satu buah dadu

Ruang sampelnya adalah S={1,2,3,4,5,6}. "ingat ruang sampel adalah himpunan, jadi ada tanda kurung kurawal" "dan nama himpunannya adalah S." "S maksudnya SAMPEL". Adapun titik sampelnya adalah bisa mata dadu 1, mata dadu 2, 3, dst... Gampang khan... Banyak anggota dari ruang sampel dinyatakan dengan n(S). "ingat, lambang n berarti banyaknya" Contoh: Banyaknya anggota ruang sampel dari pelemparan satu buah dadu yaitu: n(S)=6. Alasan, karena ruang sampel dari pelemparan 1 buah dadu adalah, S={1,2,3,4,5,6} Silahkan dihitung anggota himpunan S ! Jadi kali ini kita sudah mempelajari dan memahami 2 lambang yaitu : 1. S = ruang sampel (yang adalah sebuah himpunan) 2. n(S) = banyak anggota ruang sampel Selamat belajar, jika bingung baca lain waktu, ok... Silahkan isi komentar jika ada pertanyaan atau sangkalan...

Kesebangunan Bangun Datar

Dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: 1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang senilai. 2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar Contoh:

Lihatlah gambar disebelah kiri !!! Ada dua bangun datar yaitu bangun datar X dan bangun datar Z. Bangun datar X dan Z dkatakan sebangun bila : 1. Dalil yang pertama, yakni ab/PS=dc/QR=ad/PQ=bc/SR 2. Dalil yang kedua, yakni sudut a = sudut P, sudut b = sudut S, sudut d = sudut Q, sudut C = sudut R. Contoh soal: 1. Bila panjang ab = 3cm, panjang ad = 2cm, serta panjang PS = 9cm. Dapatkah kamu menghitung panjang PQ? Gunakan dalil yang pertama ! Selamat mencoba dan jika pusing, minumlah air putih ... :)

Contoh Soal 2 - Peluang - Kelas 11 IPA

Tono akan bepergian menuju kota C dari kota A. Namun ia harus melewati kota B. Dan jalur menuju kota B dari kota A ada 4 jalur yang boleh ia tempuh. Sedangkan dari kota B ke kota C, ada 3 jalur. Dengan berapa cara, jalur yang bisa ia tempuh ??? Jawab : Untuk mengetahui banyak jalur yang bisa ditempuh, buatlah gambar seperti berikut:

Adapun banyak jalur yang bisa ditempuh dari kota A ke kota C, bisa kita lihat satu persatu sebagai berikut: Jalur Pertama

Jalur Kedua

Jalur Ketiga

Jadi, dengan menggunakan jalur yang pertama dari A ke B, diperoleh 3 jalur dari B ke C. Ini berarti satu jalur dari A ke B, menghasilkan 3 cara. Demikian seterusnya, jika kita mengambil jalur yang kedua dari A ke B, akan ada 3 cara lagi seperti ditunjukkan gambar berikut:

Selanjutnya menggunakan jalur yang ketiga dari kota A kota B :

Yang terakhir adalah dengan menggunakan jalur yang keempat dari kota A ke kota B.

Jadi, total jalur yang bisa ditempuh dari kota A ke kota B, adalah : dari jalur I = 3 cara, dari jalur II = 3 cara, dari jalur III = 3 cara, dari jalur IV = 3 cara, sehingga banyak cara/jalur yang bisa ditempuh adalah : 3 + 3 + 3 + 3 = 12 cara/jalur. Atau secara singkat ditulis ada 4 x 3 = 12 jalur.

Contoh Soal - Peluang - Kelas 11 IPA

Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang kejadian keluarnya :

a. mata dadu 2

b. mata dadu 5

c. mata dadu genap

d. mata dadu kurang dari 3

Pembahasan :

Ingat rumus peluang adalah :

Dari pelemparan sebuah dadu satu kali, maka, mata dadu yang mungkin muncul disebut kejadian. Adapun kumpulan dari kejadian-kejadian yang mungkin itu kita sebut dengan istilah ruang sample. Sehingga ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu sebanyak satu kali adalah kumpulan kejadian yang mungkin muncul yaitu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Misalnya himpunan/kumpulan kejadian itu kita beri nama himpunan S, maka anggota-anggota himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Adapun banyak anggota himpunan ruang sampel S adalah n(S) = 6, dimana n artinya banyak anggota himpunan. Sehingga didapat banyaknya ruang sampel adalah 6. a. Peluang munculnya mata dadu 2. Banyaknya kejadian muncul mata dadu 2 adalah 1 saja, karena dalam satu kali pelemparan satu buah dadu hanya terdapat 1 mata dadu berangka 2. Misalnya kejadian munculnya mata dadu 2 kita beri lambang A, maka anggota himpunan A = {2}. Banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = 1. Adapun peluang A ditulis P(A). Sehingga peluang dari munculnya mata dadu 2 adalah :

sehingga : Jadi peluang munculnya mata dua adalah 1/6. Gampang sekali bukan. Nah, selanjutnya untuk nomor b, c, dan d, bisa dicoba sendiri ya, sebelum pembahasan berikutnya. Tetap berlatih pelan-pelan akan lebih menguntungkan.

Contoh Soal - Statistika - Kelas 11

Nilai rata-rata ulangan dari Agus, Dewi, Angga, dan Dian adalah 7,5. Namun setelah digabung dengan nilai ulangan dari Putra, rata-ratanya nilai ulangan mereka menjadi 7,6. Berapakah besarnya nilai ulangan dari Putra ? Jawab : Adapun rumus umum untuk menghitung nilai rata-rata atau mean yaitu :

Dari 4 orang siswa (n=4) kita memperoleh rata-rata = 7,5. Jadi yang bisa kita cari terlebih dahulu adalah jumlah nilai ulangan 4 orang siswa yaitu : Jadi jumlah nilai ulangan Agus, Dewi, Angga dan Dian adalah 30. Kalau nilai ulangan Putra dimisalkan adalah x, maka nilai x dapat kita cari, yaitu: jumlah nilai Agus, Dewi, Angga dan Dian, ditambah nilai Putra = 30 + x, dimana x adalah nilai Putra yang belum diketahui. Sekarang kalau ditambah nilai ulangan Putra, maka rata-rata nilai ulangan dari lima orang siswa (n=5) itu menjadi 7,6. Maka nilai x dapat kita hitung dengan rumus :

Jadi nilai ulangan Putra adalah 8. Gampang khan, selamat belajar ...

Logaritma Kelas 10

Nah, pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan sifat logaritma yang pertama, dari lebih kurang sembilan sifat yang ada. Sebelumnya mari kita lihat dulu bentuk umum untuk logaritma, yaitu:

dimana : a = bilangan pokok atau basis dari logaritma, y = numerus. Sekarang, mari kita mulai dengan sifat yang pertama ( I )

ingat : a > 0, b > 0, c > 0, dan a tidak sama dengan 1 Contoh penggunaannya di dalam soal :

Nah gampang bukan... Untuk membuktikan sifat itu benar, maka harus dicari hasil logaritma masing-masing ruas, yaitu ruas kiri dan ruas kanan. Dimana ruas pada kiri dicari hasil logaritma 16 dan pada ruas kanan dicari hasil logartima 4, sebagai berikut:

Jadi, sekarang kita telah menguasai sifat trigonometri yang pertama. Untuk sifat selanjutnya akan saya bahas pada posting berikutnya. Selamat belajar... !!

Mencari KPK dan FPB

Sebelum mulai dengan pembahasan untuk mencari KPK dan FPB dari 2 atau 3 bilangan, akan diterangkan dulu mengenai pengertian dari kelipatan, kelipatan persekutuan, dan KPK itu sendiri. Kelipatan adalah suatu barisan bilangan yang diperoleh dengan cara menjumlahkan bilangan pokok dengan bilangan itu sendiri, dan seterusnya hasil dari penjumlahan itu dijumlahkan lagi dengan bilangan pokoknya lagi, demikian seterusnya. Contoh: Kelipatan 3, yaitu 3 = 3, (3+3), ((3+3)+3), dst... = 3, 6, 9, 12, 15,... (dst) Kelipatan 2, yaitu 2 = 2, (2+2), ((2+2)+2), ... = 2, 4, 6, 8, 10, 12,... Kelipatan persekutuan adalah kelipatan dari 2 atau lebih bilangan yang memiliki kesamaan atau sekutu. Contoh: pada bilangan 2 dan 3 diatas, kelipatan yang sama atau bersekutu adalah 6, 12, dan jika kelipatan itu dilanjutkan maka akan ada lagi kelipatan yang sama. Jadi, 2 atau lebih bilangan dapat memiliki lebih dari satu kelipatan persekutuan. Sementara kelipatan persekutuan terkecil atau KPK adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 2 atau lebih bilangan. Jadi dari sekian banyak kelipatan persekutuan dari 2 atau lebih bilangan, yang dicari atau yang ditunjuk adalah yang paling kecil atau terkecil. Contoh: pada bilangan 2 dan 3 diatas, kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 6. Nah, untuk mencari KPK dari 2 atau lebih bilangan, ada 3 cara yang bisa kita gunakan. Adapun cara yang pertama (I) adalah cara yang telah kita bahas diatas tadi, dan merupakan cara paling sederhana, namun untuk bilangan-bilangan dengan angka yang lebih besar, akan memiliki tingkat kesulitan terutama dalam menghitung setiap kelipatan dimana akan memerlukan banyak waktu. Kali ini, kakak akan berikan penjelasan mengenai cara yang kedua (II) yaitu pembagian faktor prima. Pembagian dengan faktor prima yaitu, bilangan-bilangan yang akan dicari KPK-nya, dibagi dengan suatu bilangan prima, dan dimulai dari mencoba dengan bilangan prima yang paling kecil dahulu, sampai semua bilangan yang dicari KPK-nya itu habis atau hanya menyisakan bilangan 1. Bila ada bilangan yang tidak bisa dibagi dengan suatu faktor prima yang dipilih itu, cukup diturunkan saja, dan nanti kita pilihkan dia suatu faktor prima yang membuat bilangan itu juga habis menjadi 1. Contoh soal: Berapakah KPK dari 6, 8, dan 12 ? Jawab: Adapun langkah-langkah pembagian faktor prima, sebagai berikut: (1) Pertama-tama, buatlah barisan ketiga bilangan itu pada satu garis, (2) kedua, bagilah bilangan itu dengan faktor prima terkecil dalam hal ini 2, karena dari ketiga bilangan itu ada yang bisa dibagi dengan 2. (3) hasil pembagiannya, langsung tulis dibawah bilangan itu sendiri tepat dibawah garis yang dibuat. (4) hasil pembagian itu, lalu dibagi lagi dengan faktor prima. (5) bila ada bilangan yang tidak bisa dibagi diturunkan saja, asal ada minimal satu bilangan yang bisa dibagi. (6) bagilah terus dengan suatu faktor prima sampai ketiga bilangan bersisa 1. (7) nah, untuk mencari KPK, maka kalikan semua faktor prima yang dipakai untuk membagi bilangan itu. Untuk lebih jelas, silahkan lihat pada gambar berikut: Penjelasan gambar: Dari gambar itu, terlihat angka yang berwarna biru adalah faktor prima pembagi ketiga bilangan yang dicari KPK-nya. (1) Hasil pembagian pada baris satu, semua bilangan dari 6, 8, dan 12 bisa dibagi 2. (2) Pada hasil baris yang kedua, bilangan 3 tidak bisa dibagi 2, sehingga cukup diturunkan saja. (3) Pada hasil baris ketiga, bilangan 3 tidak bisa dibagi 2, cukup diturunkan saja, dan yang dibagi hanya bilangan 2 sehingga menjadi 1. (4) Pada hasil pembagian baris keempat, dengan pembagi 3, maka 3 dibagi 3 sehingga menjadi 1, sementara 1 tidak usah dibagi 3, cukup diturunkan 1 saja. Sehingga, semua bilangan telah bersisa 1. KPK-nya adalah dengan mengalikan semua faktor pembagi yang menyebabkan ketiga bilangan itu menjadi bersisa satu, yaitu pada gambar kakak beri lingkaran warna merah, yaitu 2 x 2 x 2 x 3 = 24. Nah, sangat gampang bukan. Sekarang coba kalian berlatih dengan mencari KPK dari 4, 12, dan 24, tentunya dengan cara seperti diatas. Selamat mencoba ...

Bilangan Bulat

Adapun pokok-pokok materi yang harus adik-adik kuasai dalam pengerjaan hitung bilangan bulat, yaitu: (1) sifat-sifat hitung pada bilangan bulat,

• sifat komutatif (pertukaran)
• sifat asosiatif (pengelompokan)
• sifat distributif (penyebaran)

(2) pengerjaan hitung campuran, yaitu dengan konsep urutan sebagai berikut:

• bilangan dalam tanda kurung, dikerjakan paling pertama,
• perkalian dan atau pembagian, dikerjakan nomor dua,
• penjumlahan dan atau pengurangan, dikerjakan paling terakhir.

(3) mencari faktor persekutuan terbesar atau FPB, dimana terdapat tiga cara, yaitu :

• dengan mencari faktor masing-masing bilangan,
• dengan memfaktorkan ketiga bilangan bersamaan dengan faktor prima,
• dengan memfaktorkan masing-masing bilangan dengan pohon faktor.

(4) mencari kelipatan persekutuan terkecil atau KPK, dimana terdapat tiga cara juga, yaitu :

• dengan mencari kelipatan masing-masing bilangan,
• dengan memfaktorkan ketiga bilangan secara bersamaan dengan faktor prima,
• dengan memfaktorkan masing-masing bilangan dengan pohon faktor.

Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah proses penyusunan unsur-unsur atau anggota suatu kelompok, menjadi satu atau lebih susunan baru, dimana penyusunan dilakukan dengan memperhatikan urutan dari unsur-unsur atau anggota kelompok tersebut.

Misalnya, urutkanlah bilangan 1, 2, 3 menjadi sebuah bilangan 3 angka, dan berapa banyak angka yang bisa disusun ?

jawab:

bilangan yang bisa disusun dari angka 1, 2, dan 3 adalah 123, 132, 231, 213, 312, dan 321. Banyak bilangan yang bisa disusun adalah 6 bilangan.

Dari bilangan itu terlihat bahwa bilangan 123 (baca: seratus dua puluh tiga) tidak sama dengan bilangan 132 (seratus tiga puluh dua), tidak sama juga dengan bilangan 231 (dua ratus tiga puluh satu), dan seterusnya. Jadi inilah yang dimaksud dengan memperhatikan urutannya.

Contoh 2:

Susunlah sebuah barisan dari 3 orang anak, yaitu Putri, Dian, dan Andre. Berapa barisankah dapat disusun dari ketiga anak itu?

Jawab:

Coba sekarang kita bentuk barisan yang pertama, dengan urutan sebagai berikut:

(1) Putri - Dian - Andre = pada barisan ini Andre paling belakang, ternyata dia boleh dipindah ke tengah, bertukar tempat dengan Dian, yaitu menjadi :

(2) Putri - Andre - Dian

Dua cara berbaris itu dapat disusun dengan menempatkan Putri paling depan pada barisan. Ternyata, Dian dan Andre pun berhak berbaris paling depan juga. Yuk! kita susun lagi, menjadi :

(3) Andre - Dian - Putri

(4) Andre - Putri - Dian

(5) Dian - Andre - Putri

(6) Dian - Putri - Andre

Selesai sudah, banyak barisan yang dapat kita susun, dan ternyata ada 6 buah barisan, atau 6 buah cara berbaris yang bisa disusun dari 3 orang anak tersebut.

Sesuai dengan aturan kaidah pencacahan yang dibahas pada materi sebelumnya, maka hasil 6 diperoleh dari :

Adapun 6 ini diperoleh dari penyusunan 3 unsur akan diambil 3 unsur juga untuk dipermutasikan, sehingga diperoleh rumus untuk penyusunan atau permutasi dari 3 unsur diambil 3 untuk disusun :

Sehingga, diperoleh rumus umum untuk permutasi, yaitu :

Dimana: n = banyaknya unsur-unsur yang bisa diambil untuk disusun menjadi suatu susunan baru r = banyak unsur-unsur atau anggota yang diperlukan dari susunan kelompok yang baru

Contoh 3:

Berapa banyak formasi yang dapat disusun dari 4 orang untuk menduduki jabatan ketua dan wakil ketua kelas ?

Jawab: banyak anggota yang tersedia yaitu 4 orang, sehingga n = 4 akan diambil tiap-tiap 2 orang untuk disusun dalam 2 jabatan itu, maka r = 2 sehingga :

Jadi banyak formasi 2 orang 2 orang atau (permutasi 4 unsur diambil 2), yang bisa disusun dari 4 orang itu adalah 12 formasi atau 12 cara penyusunan.

Selain dengan notasi diatas, masih ada cara lain penulisan notasi permutasi yakni, sebagai berikut :

Sifat Logaritma

Dari, sekian banyak sifat logaritma, kali ini akan dibahas sifat logaritma yang sering keluar dalam soal, baik pada ujian sekolah maupun ujian nasional dan ujian masuk perguruan tinggi. Langsung saja kita lihat kembali bentuk umum logaritma, yaitu: Jika sudah ingat kembali bentuk umumnya, sekarang kita lanjutkan dengan sifat logaritma yang ke-8, yaitu dengan bentuk sebagai berikut : Penjelasan singkat : bentuk seperti a log b, dapat diubah menjadi b log a, dengan jalan menjadi 1 per. Fungsinya adalah ketika dalam suatu soal yang diketahui adalah hasil dari b log a, maka bentuk a log b diubah menjadi seper b log a, sesuai sifat logaritma ini. Contoh penggunaannya dalam soal : Contoh 1: Jika diketahui nilai dari ^blog a = 3, hitunglah nilai dari ^alog b : Jawab : Sesuai dengan sifat yang tadi, maka : Gampang khan! Mari lanjutkan dengan contoh berikut. Contoh 2: Diketahui, nilai dari ⁵log 7 = a, ⁵log 8 = c. Hitunglah nilai dari ⁷log 5 x ⁸log 5 ! Jawab : Karena yang dicari adalah ⁷log 5 dan ⁸log 5, maka ubah bentuk ⁵log 7 = a dan ⁵log 8 menjadi bentuk yang dicari yaitu : Sehingga, jika diselesaikan menjadi :

Sampai disini, kalian sudah mampu mengerjakan soal yang diberikan. Untuk selnjutnya pembahasan soal campuran dari sifat-sifat logaritma akan di bahas pada posting berikutnya. Selamat berlatih !

Contoh Soal - Permutasi - Kelas 11 IPA

Permutasi adalah penyusunan dari n unsur yang tersedia menjadi beberapa kemungkinan yang dapat dibentuk atau disusun dengan pengambilan sebanyak r unsur.

Misalnya menyusun pasangan baju dan celana, menyusun pengurus kelas dari sekian banyak siswa, menyusun kata dengan 5 huruf dari 26 huruf yang tersedia, dan sebagainya. Adapun rumus umumnya adalah : Contoh 1:

Dari tiga angka yang tersedia (n=3) susunlah menjadi bilangan dua angka (r=2) dimana tidak boleh ada bilangan yang berulang atau ganda pada tiap satu bilangan. Angka-angka yang diberikan adalah 2, 4, dan 5. Jawab: Diketahui : n = 3 r = 2 maka, masukkan pada rumus, seperti berikut ini : dan hasilnya adalah 6 cara penyusunan. Mari kita buktikan dengan metode pencacahan bilangan apa saja yang bisa di bentuk dari angka 2, 4 dan 5. Ternyata bilangan yang bisa disusun dari tiga angka itu adalah 6 seperti yang dicari dengan menggunakan rumus. Lain halnya kalo bilangan itu boleh memakai angka yang berulang, maka bilangan yang boleh dibentuk akan mencakup bilangan 22, 44, dan 55. Nah sampai disini tentunya sudah paham bukan, mari kita lanjutkan dengan contoh berikut: contoh 2 : Dari angka-angka berikut yakni 2, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9, tentukan banyak bilangan tiga angka yang kurang dari 500 yang dapat disusun, dimana angka-angka tidak boleh berulang ! Jawab: Nah, soal seperti ini lebih variatif, dimana ada sebuah ketentuan yaitu < 500. Jadi adik-adik harus berpikir sedikit, yaitu bilangan yang kurang dari 500 pasti tidak lebih dari 499. Jadi untuk angka paling depan dari bilangan yang bisa dipilih hanya angka 2 dan angka 4. Karena jika kita ambil angka 5, 6, 7, 8, dan 9, nantinya bisa terbentuk bilangan yang lebih dari 500 seperti bilangan 567, 587, dan atau 576. Khan tidak < 500 namanya. Nah, 2 bilangan pertama yang bisa dipilih itu yaitu angka 2 dan angka 4 kita sebut faktor pengali yang pertama yaitu 2. Dan 2 ini kita masukkan pada kotak I untuk memudahkan proses pengalian. Untuk lebih jelasnya silahkan lihat pada kotak pencacahan berikut : Keterangan gambar :

1. "3" kotak mewakili bilangan 3 angka yang akan dibentuk.
2. angka 2 pada kotak pertama artinya 2 angka yang boleh dipilih untuk mengisi kotak I, yaitu angka 2 dan angka 4. Kenapa hanya angka 2 dan 4 ??? Karena bilangan yang diminta adalah < 500, jadi hanya bisa kepala 2 dan 4.
3. Jadi, yang bisa dipermutasikan selanjutnya hanya 2 kotak terakhir, yaitu kotak II dan kotak III.

Ini berarti angka yang masih bisa dipilih adalah angka 5, 6, 7, 8, 9, karena angkanya sendiri tidak boleh diulang. Jadi kalo bilangan itu terdiri dari 3 angka maka tinggal 2 angka saja yang dipermutasikan karena 1 angka pertama sudah diisi dengan 2 pilihan. Maka, permutasi 2 unsur (r = 2) dari 5 unsur (n = 5) yang tersedia adalah : nah, hasil dari permutasi 2 kotak yang tersedia adalah 20 cara. Sementara dari kotak pertama kita bisa menyusun dengan 2 cara, maka keseluruhan kotak cara menyusunnya adalah dengan 2 x 20 = 40 cara penyusunan. Artinya bilangan 3 angka yang bisa dibentuk adalah sebanyak 40 bilangan. Silahkan adik-adik membuktikan dengan metode pencacahan atau secara manual, bilangan apa saja yang < 500 yang bisa dibentuk. Selamat mencoba dan tetap berlatih.

Statistika

Statistik adalah kegiatan mengumpulkan, menyusun, mengolah atau menganalisa, serta menyatikan data dalam bentuk angka dan atau gambar, untuk kemudian diambil suatu kesimpulan yang bisa diuji dengan hipotesa. Data-data itu bisa disajikan kedalam beberapa diagram, antara lain :

1. Diagram garis
2. Diagram batang
3. Diagram lingkaran
4. Diagram lambang atau piktogram
5. Diagram batang daun
6. Diagram kotak garis

Beberapa istilah penting dalam statistika, yaitu:

• Datum Setiap data tunggal itu dinamakan datum.
• Data Kumpulan dari beberapa datum dinamakan data.
• Populasi Populasi adalah keseluruhan elemen atau unsur (bisa berupa orang, benda atau kejadian) yang akan dijadikan objek penelitian.
• Sampel Sampel adalah sebagian dari populasi yang diambil untuk diteliti dan mampu mewakili karakteristik dari populasi itu sendiri.
• Frekuensi Frekuensi adalah jumlah dari seringnya datum itu muncul.
• Ukuran Pemusatan Data
1. Mean atau rataan hitung Mean atau rata-rata adalah suatu ukuran pemusatan data, dimana diperoleh dari jumlah seluruh data dibagi banyaknya data.
2. Median Median merupakan suatu ukuran pemusatan data dimana ia adalah nilai yang terletak ditengah-tengah dari sekelompok datum (data) yang diurutkan dari kecil menuju besar. Apabila banyak data ganjil, maka median tepat ditengah-tengah, dan apabila data genap maka median adalah jumlah dua datum yang ditengah dibagi dua.
3. Modus Modus merupakan salah satu ukuran pemusatan data dimana ia adalah nilai yang paling sering muncul atau datum dengan frekuensi tertinggi.

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat itu adalah persamaan yang memiliki variabel yang berpangkat dua. Biasanya yang berpangkat dua itu adalah x. Sehingga bentuk umum persamaan kuadrat adalah : ax² + bx + c = 0. dengan syarat: a tidak sama dengan nol, dan a, b, dan c adalah elemen himpunan bilangan Real. Kenapa disebut persamaan, karena ada tanda sama dengan '=' itu. Jadi kalau tandanya tidak '=' seperti tanda 'kurang dari' < atau 'lebih dari' >, itu akan disebut sebagai pertidaksamaan. Persamaan kuadrat itu memiliki penyelesaian yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat, yang biasanya ada dua yaitu x₁ dan x₂. Disebut penyelesaian karena jika nilai dari salah satu penyelesaian itu dimasukkan pada variabel x pada persamaan akan menghasilkan nilai nol. Sehingga akar-akar persamaan kuadrat juga disebut faktor pembuat nol. Adapun cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu :

1. Memfaktorkan
   • cara I
   • cara II
   • cara III
2. Melengkaptkan Kuadrat Sempurna
3. Menggunakan Rumus ABC

Yang kalau diringkas bisa disebut 3M. Wah seperti memberantas sarang nyamuk saja, hehe. Yuk sekarang coba kita bahas satu persatu.

• Memfaktorkan
  1. Cara I
  Cara yang pertama ini paling tepat digunakan jika nilai a pada variabel x² dari persamaan ax² + bx + c = 0 adalah 1 (satu). Atau secara lebih mudah yaitu x² didepannya tidak mengandung angka lain selain variabel x itu sendiri. Contoh persamaan kuadratnya :
  1. x² - 8x + 15 = 0
  2. x² - x - 12 = 0
  3. x² + 8x + 12 = 0
  4. x² - 8x + 16 = 0
  5. x² - 9 = 0
  Adapun langkah-langkah untuk mencari akar-akar persamaan kuadratnya adalah sebagai berikut, dimana contoh yang kita pakai adalah persamaan kuadrat yang no. 1 yakni x² - 8x + 15 = 0. (langkah 1) : Tulis persamaan kuadrat itu, seperti berikut ini : x² - 8x + 15 = 0 (langkah 2) : Tulis dibawahnya dua buah tanda kurung, dengan masing-masing diisi variabel x seperti berikut : (x )(x ) = 0 (langkah 3) : Pikirkan dua buah angka, yang jika dikalikan hasilnya adalah 15, dan jika dua angka itu dijumlahkan hasilnya -8 (negatif 8). Maka tentunya kita akan memikirkan 1 dan 15, atau 3 dan 5, karena hanya dua pasangan bilangan itu yang jika dikalikan menghasilkan 15. Terus agar hasil kalinya positif 15 dan hasil penjumlahan -8, maka yang paling tepat adalah -3 dan -5. Coba kita jumlahkan -3 dan -5 yaitu -3 + (-5) = -8. Betulkan hasilnya -8. Kalau sampai disini masih bingung, kenapa jika dikali hasilnya harus 15? Lihat kembali persamaan kuadratnya yaitu x² - 8x + 15 = 0. Jadi jika dikali harus menghasilkan c yaitu 15, dan jika dijumlah harus menghasilkan koefisien x, yaitu b. Yang mana b, yang mana c? Kita lihat lagi bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax² + bx + c = 0. Jadi c adalah bilangan konstanta-nya (yang tidak berisi variabel x), dan b adalah koefisien dari variabel x yang berpangkat satu(x tanpa pangkat), dan koefisien dari variabel x yang berpangkat 2 atau x² adalah a, dalam hal ini nilai a = 1. Jadi angka 1 tidak usah ditulis ya didepan x² seperti aturan yang sudah biasa. (langkah 4) : Masukkan kedua angka itu ke dalam masing-masing tanda kurung, lengkap dengan tanda negatif atau positifnya, seperti berikut ini : (x - 3)(x - 5) = 0 (langkah 5) : Samakan masing-masing setiap suku dalam tanda kurung dengan 0 (nol), seperti berikut ini : (x - 3) = 0 x - 3 = 0 x = 3 (tanda negatif pada 3 hilang karena pindah ruas) Sebenarnya ada teori mendasar mengenai kenapa kalau pindah ruas bisa berubah tanda, dan itu akan saya jelaskan pada posting khusus, agar kita bisa lebih konsentrasi pada materi ini. Jadi kita dapatkan nilai x₁ = 3. Selanjutkan kita samakan lagi suku yang lagi satu dengan nol, yaitu : (x - 5) = 0 x - 5 = 0 x = 5 Jadi kita dapatkan x₂ = 5. Jadi adapun akar-akar persamaan kuadrat x² - 8x + 15 = 0 adalah x₁ = 3 dan x₂ = 5, atau bisa juga disebut sebagai himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x² - 8x + 15 = 0 adalah HP = {3, 5}. Nah, gampang sekali bukan untuk memahami cara yang pertama. Selanjutnya untuk lebih memantapkan bisa dicoba contoh persamaan kuadrat di atas yang nomor 2 sampai nomor 5. Klik next untuk melanjutkan pelajaran mengenai memfaktorkan dengan cara II.

Persamaan Kuadrat - Session II

Memfaktorkan Dengan Cara II Nah, jika sudah selesai mencoba kelima persamaan kuadrat yang telah diberikan pada pelajaran sebelumnya, sekarang kita lanjutkan saja pada pelajaran memfaktorkan dengan cara yang kedua. Cara II Cara yang kedua ini, dipakai jika persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 itu memiliki nilai a yang tidak sama dengan 1. Misalkan memiliki bentuk-bentuk seperti berikut ini :

1. 5x² + 8x - 4 = 0
2. 12x² - 20x + 3 = 0
3. 6x² + 11x + 3 = 0

Nah, bisa dilihat kan, kalau nilai a pada persamaan kuadrat no. 1 adalah 5, nilai a pada persamaan no. 2 adalah 12, dan yang no. 3 adalah 6. Untuk itu, cara II ini akan sangat ampuh untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat itu. Bagaimana kalau kita langsung saja menyelesaikan dengan contoh berikut ini, dimana kita coba contoh persamaan yang no. 1: (langkah 1) : Seperti biasa, tulis persamaan itu: 5x² + 8x - 4 = 0 (langkah 2) : Tuliskan dua buah tanda kurung, yang masing-masing tanda kurung diisi dengan suku kuadrat (ax²) dari persamaan kuadrat itu tanpa menulis pangkatnya. Untuk lebih jelas, seperti berikut ini: (5x      )(5x      ) = 0 (langkah 3) : Beri garis bagi dibawah dua tanda kurung itu dan tuliskan nilai a (koefisien dari x²) dibawah garis itu, yang dalam hal ini nilai a adalah 5, seperti berikut ini: (5x      )(5x      ) = 0           5 Garis bagi itu berarti dia akan membagi masing-masing suku dalam tanda kurung. (langkah 4) : Pikirkan dua bilangan, yang jika dikali hasilnya = ac = a dikali c = 5 x (-4) = -20. Tentu sudah tahu kan, yang mana a dan yang mana c. Kalau lupa, ingat lagi bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax² + bx + c = 0. Nah, kalau persamaannya adalah 5x² + 8x - 4 = 0, maka a=5, b=8, dan c=-4. Gampang khan. Lalu bilangan apa sih yang jika dikali hasilnya -20 (negatif 20) dan jika dijumlah hasilnya 8 (positif 8). Mungkin kalian akan mendapatkan -20 dan 1, atau 20 dan -1, atau -4 dan 5, atau 4 dan -5, atau juga -2 dan 10, atau 2 dan -10. Sebab jika masing-masing dua bilangan itu dikali, hasilnya adalah -20. Tapi yang jika dijumlah hasilnya adalah 8 (positif 8), maka yang paling tepat adalah -2 dan 10. Benar kan. Buktikan, yaitu : -2 X 10 = -20 -2 + 10 = 8    (terbukti). (langkah 5) : Masukkan dua bilangan itu kedalam tanda kurung tadi, seperti berikut ini : (5x - 2)(5x + 10) = 0            5 (langkah 6) : Samakan tiap bilangan dalam tanda kurung beserta pembaginya dengan 0 (nol), seperti berikut ini: (5x - 2) = 0       5 5x - 2 = 0 sama-sama dibagi lima, maka menjadi :      5 5x - 2 = 0 5     5 x - 2 = 0 pindahkan -2/5 keruas kanan, menjadi :      5 x = 2/5 (pindah ruas, maka tanda negatif menjadi positif) Jadi kita dapatkan x₁ = 2/5 (dua per lima) Lanjutkan dengan tanda kurung yang lagi satu, yaitu : (5x + 10) = 0       5 5x + 10 = 0 sama-sama dibagi lima menjadi:      5 5x + 10 = 0 5       5 x + 2 = 0 x = -2 (seperti biasa pindah ruas berubah tanda) Jadi, kita dapatkan akar yang kedua, yaitu x₂ = -2 (negatif 2)). Adapun himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 5x² + 8x - 4 = 0 adalah HP = {2,5 dan -2}. Atau dengan kata lain, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat 5x² + 8x - 4 = 0 adalah x₁ = 2/5 dan x₂ = -2. Silahkan lihat ringkasan Cara II dalam gambar berikut: Selesai, untuk cara II. Selanjutnya silahkan dicoba mencari akar-akar untuk persamaan kuadrat yang no. 2 dan no. 3, seperti contoh. Gampang sekali, tinggal diikuti langkah-langkah itu, perlahan-lahan dahulu agar semakin mengerti. Untuk melanjutkan pelajaran mengenai memfaktorkan persamaan kuadrat dengan cara yang ke-3 / Cara III, klik disini.

Statistika - Kelas 9

Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan, pengolahan, dan penyajian data, serta penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh. Datum adalah satu buah data/fakta. Contoh: umur Andi adalah 15. Maka 15 adalah datum. Data adalah kumpulan daripada datum tersebut. Atau keseluruhan data hasil suatu pengumpulan. Contoh: umur Andi adalah 15, umur Budi adalah 14, umur Ristya 16, umur Dian 15. Maka 15, 14, 16, dan 15 adalah data. Data dapat disajikan dengan tabel ataupun dengan diagram. Dimana penyajian dalam diagram antara lain diagram gambar (piktogram), diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. Data yang telah dikumpulkan tersebut kemudian akan diolah untuk mendapatkan kesimpulan-kesimpulan yang berkaitan dengan data itu. Adapun cara pengolahan data ada dua, yaitu berdasarkan ukuran pemusatan dan berdasarkan ukuran penyebarannya. Pengolahan data berdasarkan ukuran pemusatan terdiri atas : 1. Mean atau rata-rata, yakni jumlah seluruh datum dibagi banyak datum. 2. Median atau nilai tengah setelah data diurutkan. 3. Modus atau nilai yang paling sering muncul (frekuensi terbesar). Pengolahan data berdasarkan ukuran penyebaran terdiri atas: 1. Kuartil a. Kuartil Bawah b. Kuartil Tengah c. Kuartil Atas 2. Jangkuan, yakni selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Rumus untuk menghitung rata-rata atau mean: Dimana: x = mean atau rata-rata, x₁ = datum ke-1 x₂ = datum ke-2 x_n = datum ke-n (nilai n itu tergantung banyaknya datum) n = banyaknya datum atau banyak data. Contoh soal: 1. Dari hasil pengukuran 7 orang siswa, didapat data tinggi badan siswa kelas 9.A yaitu 155 cm, 150 cm, 156 cm, 150 cm, 152 cm, 153 cm, dan 152 cm. Hitunglah rata-rata tinggi badan siswa kelas 9.A itu ! Jawab Diketahui: data tinggi badan : 155, 150, 156, 150, 152, 153, 152 banyak datum (n) : 7 Ditanya: Rata-rata atau mean: Penyelesaian: Mean (x) = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇                                           n Mean (x) = 155 + 150 + 156 + 150 + 152 + 153 + 152                                                 7 Mean (x) = 1068                       7 Mean (x) = 152,57 Jadi rata-rata tinggi badan siswa kelas 9.A adalah 152,57 cm.

Persamaan Kuadrat - Session III

Memfaktorkan Dengan Cara III Nah, kita telah sampai kepada pelajaran yang terakhir mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, yakni cara III. Cara ketiga ini disebut juga cara distributif, dimana menggunakan sifat-sifat distributif pada perkalian dan penjumlahan, tentu masih ingat kan. Adapun cara yang ketiga (cara III) ini memiliki fungsi yang sama dengan cara yang kedua (cara II), yaitu paling baik digunakan jika bentuk persamaan itu adalah : ax² + bx + c = 0, dimana nilai a (koefisien x²) tidak sama dengan 1. Contoh persamaan :

1. 2x² + 7x + 3 = 0, (disini nilai a adalah 2, yaitu pada 2x²)
2. 3x² + 7x - 6 = 0, (nilai a adalah 3)
3. 8x² + 10x - 3 = 0, (nilai a adalah 8)

Untuk mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan cara III ini, langsung saja kita pada contoh soal, dimana kita ambil persamaan pada contoh no. 1, yaitu : 2x² + 7x + 3 = 0 (langkah 1) : Carilah dua buah bilangan yang jika dikalikan hasilnya = a x c yaitu 2 x 3 = 6, dan jika dijumlahkan hasilnya adalah b, yaitu 7 (positif 7). Tentunya bilangan itu adalah 6 dan 1, karena: ac = 6 x 1 = 6, dan b = 6 + 1 = 7. (langkah 2) : Tuliskan kedua bilangan itu untuk menggantikan suku bx dari persamaan kuadrat pada soal, masing-masing diisi dengan variabel x, seperti berikut ini: 2x² + 6x + 1x + 3 = 0 Yang diberi garis bawah maksudnya adalah sama dengan bx (coba saja jumlahkan yang diberi garis bawah itu). Untuk selanjutnya, 1x boleh ditulis x saja. Sehingga persamaan menjadi: 2x² + 6x + x + 3 = 0 (langkah 3) : Kelompokkan masing-masing dua suku kedalam tanda kurung, seperti berikut ini : (2x² + 6x) + (1x + 3) = 0 (langkah 4) : Carilah faktor distribusi atau faktor persekutuan dari dua suku dalam kurung masing-masing, jika ada, seperti berikut ini : 2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0 (faktor persekutuan dari suku-suku dalam tanda kurung yang pertama yaitu 2x, dan faktor persekutuan dari suku-suku dalam tanda kurung yang ke dua yaitu 1. (langkah 5) : Kelompokkan lagi faktor-faktor persekutuan itu menjadi satu dalam tanda kurung (yakni yang diberi tanda huruf tebal), dan pilih satu saja dalam kurung yang sama, seperti berikut ini : (2x + 1)(x + 3) = 0  [tulis satu saja (x + 3) karena sudah sama] (langkah 6) : Selesaikan masing-masing bilangan dalam tanda kurung seperti biasa disamakan dengan nol, seperti berikut ini : (2x + 1) = 0 2x + 1 = 0 2x = -1 X = - ½ (dapat x₁ = - ½) (x + 3) = 0 x + 3 = 0 x = -3 (dapat x₂ = -3) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP = { -3 , - ½ } Gampang bukan. Yang paling penting diingat adalah cara III hampir sama dengan cara II, yakni selalu didahului dengan mencari dua buah bilangan yang jika dikali hasilnya sama dengan ac. Apa itu ac? ac yaitu a dikali c = a x c = ac. Dimana dapat a dan c? Ya dari persamaan kuadrat bentuk ax² + bx + c = 0, dimana a itu adalah koefisien dari suku x², dan c adalah bilangan tanpa variabel atau biasa disebut konstanta. Sudah paham bukan. Boleh dicoba untuk persamaan yang nomor 2 dan 3 diatas untuk latihan. Selamat mencoba. Ingat “practice makes perfect”.

Integral

Integral adalah anti-turunan dari suatu fungsi. Artinya jika diberikan suatu fungsi untuk diintegralkan, maka fungsi tersebut merupakan fungsi yang telah diturunkan, atau telah didiferensialkan. Jadi integral berfungsi untuk mencari fungsi awalnya, yaitu sebelum diturunkan.

Dalam mempelajari integral, maka ada dua yang patut diketahui, yaitu Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu. Integral tak tentu itu adalah pengintegralan yang belum ditentukan batas-batas atau intervalnya. Biasanya hanya untuk mencari fungsi saja, dan tidak mencari penyelesaiannya dengan nilai memasukkan nilai x atau variabel yang lain. Adapun integral tertentu yakni integral yang telah memiliki batas-batas daerah penyelesaian.

Untuk pembahasan yang pertama ini, mari kita pelajari dulu integral tak tentu.

Integral Tak Tentu.

Misalkan, f’(x) adalah fungsi yang telah diturunkan, dan f(x) merupakan fungsi awalnya, maka rumus umum pengintegralannya adalah :

Dimana : c adalah suatu konstanta. Adapun rumus-rumus pada integral tak tentu diberikan sebagai berikut :

1. dimana : c adalah suatu konstanta, dan fungsi f(x) merupakan turunan dari fungsi F(X).
2. dimana : g(x) merupakan fungsi turunan dari fungsi G(x).
3. dimana n ≠ 1.
4. dimana k dan c adalah suatu konstanta.
5. 
6. 
7. dimana n ≠ 1.
8. 

Untuk rumus pertama dan kedua hanya merupakan bentuk lain dari rumus umum, jadi hanya menekankan pengertian bahwa fungsi asal berasal dari pengintegralan dari fungsi turunan yang diberikan dalam soal. Contoh Soal: 1. Hitunglah integral dari fungsi f(x) = x² 2. Carilah fungsi asal dari fungsi g(x) = x 3. Carilah integral dari f(x) = 3x² Jawab: Untuk soal nomor 1 dan 2 kita gunakan rumus nomor 3, dimana n adalah pangkat dari variabel x, sehingga penyelesaiannya seperti berikut ini : 1. Integral dari f(x) = x² 2. Integral dari g(x) = x Untuk soal nomor 3, kita gunakan rumus nomor 4, karena ada suatu konstanta k, dimana nilai k = 3, dan n = 2, maka : 3. Integral dari f(x) = 3x² Nah, kira-kira cukup mudah bukan. Untuk rumus yang berikutnya akan kita bahas pada posting selanjutnnya. Silahkan tulis di kotak komentar jika ada pertanyaan. Selamat berlatih.